对于数列{x_n}构造数集A_k:记,证明数列{x_n}收敛的充分必要条件是

证明的充分必要条件是:对于任意从右方收敛于x₀的数列{x_n}(x_n→x₀),成立

设Fⁿ={(x₁，x₂，...，x_n)|x_i∈F)是数域F上n维行空间。定义σ(x₁，x₂，...，x_n)=(0，x₁，...，x_n-1)。

(i)证明：σ是Fⁿ的一个线性变换，且σⁿ=θ;

(i)求Ker(σ)和Im(σ)的维数。

设{x_n}是一单调数列,证明的充分必要条件是:存在{x_n}的子列满足.

设x₁=2，x_n+1=(n=1，2，3，...)，证明数列{x_n}收敛，并求其极限。

设A,B皆为非空有界数集,定义数集

证明：

若{x_n}无界，且非无穷大量，则必存在两个子列(a为某有限数).

设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=证明函数列{f_n}在(a,b)内一致收敛于f.

对于每个正整数n(n≥2),证明方程

在(01)内必有唯一的实根x_n,并求极限.

设有函数序列f_n(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:

(1)若每一个函数f_n(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列f_n(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且

(2)若,又每一个函数f_n(x)都有连续的导数f'_n(x),且导函数列f'_n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且,即

[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]