证明的充分必要条件是:对于任意从右方收敛于x₀的数列{x_n}（x_n→x₀),成立

证明存在的充分必要条件是：对任意给定ε＞0，存在X＞0，当

设f(x)是区间[a,b]上的有界函数.证明f(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是对任意给定的ε＞0与σ＞0,存在划分P,使得振幅ω_i≥ε的那些小区间[x_i-1,x_i]的长度之和(即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小).

证明：和是直和的充分必要条件是

证明函数项级数上是一致收敛的，其中a是小于的任意固定正数。

设。证明：

1)有相同值域的充分必要条件是

2)有相同的核的充分必要条件是

若集合A上的关系R,S是对称的,证明RS具有对称性的充分必要条件是RS=SR.

证明定理11.1.3：x是点集的聚点的充分必要条件是：存在S中的点列{x_k}，满足