证明:函数都是拉普拉斯方程的解,其中a与b是常数.

下章将要证明:在任何区城D内解析函数f(z)一定有任意阶导数。由此证明，

(1)f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程，

(2)在D内,

证明下列各题：

1)任何有理分式函数可以化为X+iY的形式，其中X与Y为具有实系数的x与y的有理分式函数;

2)如果R(z)为1)中的有理函数，但具有实系数，那么R()=X- iY;

3)如果复数a十ib是实系数方程

a₀zⁿ+a₁z^n-1+···+a_n-1z+aⁿ=0

的根，那么a-ib也是它的根。

证明拉普拉斯方程下形状保持不变.

设，而t是由方程所确定的x,y的隐函数，其中f和F都具有连续偏导数。证明

若函数φ(x，y)和Ψ(x，y)和都具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，而令则s+it是z=x+iy的解析函数。

设在r＞0内满足拉普拉斯方程其中f(r)二阶可导，且f(1)=f’(1)=1,试将该方程化为以r为自变量的常微分方程，并求f(r).

求解弹簧振子在无阻尼下的强迫振动方程，其中m，k，p和w都是正的常数，并对外加频率w≠w₀和w=w₀两种不同的情况，说明解的物理意义，这里是弹簧振子的固有频率。

设函数z=f(u),其中u是由方程确定的函数,f(u)与φ(u)可微分,p(t)与φ'(u)连续,且.求.

设。证明：如果线性方程组

的解全是方程的解，那么β可以由α₁，α₂，...，α_s线性表出。

证明贝塔函数B(s,t)与伽马函数Γ(t)之间的关系为

其中