设{X_n}是一个无界数列,但非无穷大量,证明:存在两个子列,一个是无穷大量,另一个是收敛子列.

若{x_n}无界，且非无穷大量，则必存在两个子列(a为某有限数).

x→0时,是().

A.无穷大量

B.无穷小量

C.有界变量但非无穷小量

D.无界变量但非无穷大量

以下说法是否正确？为什么？

(1)对于任意给定的正数ε，数列{a_n}中有无穷多项a_n满足不等式|a_n-a|＜ε，则

(2)设a＜b，并且对于任意给定的正数，在邻域U(a;ε)和U(b;ε)中各含数列{a_n}中的无穷多项，则{a_n}是发散数列。

(3)收敛数列必有界，发散数列必无界;

(4)无界数列一定是无穷大数列;

(5)有界的发散数列一定不是单调数列;

(6)若数列{a_nb_n}收敛，则{a_n}和{b_n}或者同时收敛，或者同时发散。

证明:若{x_n}是无穷小量，x_n≠0(n=1,2,3,…)则是无穷大量。

设{x_n}是一单调数列,证明的充分必要条件是:存在{x_n}的子列满足.

证明定理7.9

定理7.9设{x_n}为有界数列.

(1)为{x_n}上极限的充要条件是

(2)为{x_n}下极限的充要条件是

证明:若{x_n}为无穷大量，{y_n}为有界变量，则{x_n±y_n}为无穷大量。

并由此计算下列极限:

又:两个无穷大量和的极限怎样？试讨论各种可能情形。

A.充分非必要条件

B.非充要条件

C.必要非充分条件

D.充分必要条件

方程x=m+εsinx（0＜ε＜1)称为开普勒^①方程.设则数列{x_n}存在极限（设以后将证明,ε是开普

方程x=m+εsinx(0＜ε＜1)称为开普勒^①方程.设

则数列{x_n}存在极限(设以后将证明,ε是开普勒方程的唯一解.应用柯西收敛准则).

设正项数列{x_n}单调减少，且级数是否收敛？并说明理由。