设函数u（P)在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线)内连续可微分,且|gradu|≤K（常数).证明:对于该区域内任意两点A和B,都有|u（A)-u（B)|≤K.d（A,B)其中d（A,B)表示点A和B之间的距离.

设函数f(x,y,z)在区域内连续.若对于Ω内任意有界子域w,都有

证明f(x,y,z)=0,其中.

设函数u(x,y)在光滑闭曲线L所围成的区域D上具有二阶连续偏导数,证明

设φ(u)为可微分的任意函数,若z=φ(x²+y²),则=()

试证:是在不包含原点的复平而所成的区域D内的调和函数;并求一个以u为实部的解析函数.

设函数z=f(u),其中u是由方程确定的函数,f(u)与φ(u)可微分,p(t)与φ'(u)连续,且.求.

设P(u,v)具有连续偏导数,a、b、c为常数,而方程确定隐函数z=z(x,y),且求

设u(x,y),v(x,y)具具有二阶连续偏导数的函数,证明:

其中D为光滑闲曲线L所围的平面区域,而

是u(x,y),v(x,y)沿曲线L的外法线n方向导数.