第3题
设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=证明函数列{fn}在(a,b)内一致收敛于f.
第4题
设Fn={(x1,x2,...,xn)|xi∈F)是数域F上n维行空间。定义σ(x1,x2,...,xn)=(0,x1,...,xn-1)。
(i)证明:σ是Fn的一个线性变换,且σn=θ;
(i)求Ker(σ)和Im(σ)的维数。
第5题
第7题
设有函数序列fn(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:
(1)若每一个函数fn(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且
(2)若,又每一个函数fn(x)都有连续的导数f'n(x),且导函数列f'n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且,即
[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]
第8题
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
第9题
由一阶全通滤波器组成的移相式正弦波发生器电路如图题9.6.7所示。(1)试证明电路的振荡频率f0=1/(2πC√R4R5);(2)根据全通滤波器的工作特点,可分别求出V01相对于V03的相移和V0相对于V01的相移,同时在f=f0时V03与V0之间的相位差为-π,试证明在R4=R5时,V01,V0间的相位差为90°,即V01若为正弦波,则V0就为余弦波。
第10题
设函数f(x)在[01]上二阶可导,且满足|fn(x)|≤1,f(x)在区间(0,1)内取到最大值.证明:|f(0)1+|f(1)|≤1.