设是P上n维线性空间V的一个线性变换。1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;2)定义V*到自
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
第1题
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
第2题
是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:如果在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。
第3题
设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证明:
1)V中包含ε1的-子空间只有V自身;
2)V中任一非零-子空间都包含εn;
3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。
第4题
设三维线性空间V上的线性变换在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为:
1)求在基ε3,ε2,ε1下的矩阵;
2)求在基ε1,kε2,ε3下的矩阵,其中k∈P且k≠0;
3)求在基ε1+ε2,ε2,ε3下的矩阵。
第6题
设ε1,ε2,ε3,ε4是四维线性空间V的一组基,线性变换在这组基下的矩阵为
1)求在基
下的矩阵;
2)求的特征值与特征向量;
3)求一可逆矩阵T,使T-1AT成对角形。
第7题
设α1,α2,...,αn是n维线性空间V的一组基,A是一nxs矩阵。
证明:的维数等于A的秩。
第8题
设ε1,ε2,ε3,ε4四维线性空间V的一组基,已知线性变换在这组基下的矩阵为
1)求在基下的矩阵;
2)求的核与值域;
3)在的核中选一组基,把它扩充成V的一组基,并求在这组基下的矩阵;
4)在的值域中选一组基,把它扩充成V的一组基,并求在这组基下的矩阵。
第9题
(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量,已知在一组基下的矩阵为:
(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形?在可以化成对角形的情况,写出相应的基变换的过渡矩阵T,并验算T-1AT。
第10题
判别下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:
1)在线性空间V中,其中α∈V是一固定的向量;
2)在线性空间V中,其中α∈V是一固定的向量;
3)在P3中;
4)在P3中;
5)在P[x]中;
6)在P[x]中,其中x0∈P是一固定的数;
7)把复数域看作复数域上的线性空间,
8)在Pnxn中,,其中B,C∈Pnxn是两个固定的矩阵。
第11题
设V1,V2都是线性空间V的子空间,且V1V2,证明:如果V1的维数和V2的维数相等,那么V1=V2。