设函数f（x)对任意实数x₁,x₂有f（x₁+x₂)=f（x₁)+f（x₂)且f'（0)=1,证明:函数f（x)可导,且f'（x)=1.

设f(x₁，x₂，···，x_n)=X'AX是一实二次型，λ₁，λ₂，···，λ_n是A的特征多项式的根，且λ₁≤λ₂≤···≤λ_n。证明：对任一X∈Rⁿ，有

设f(x)在(0,+∞)上有意义,x₁＞0,x₂＞0.求证:

(1)若单调减少,则;

(2)若单调增加,则.

设Fⁿ={(x₁，x₂，...，x_n)|x_i∈F)是数域F上n维行空间。定义σ(x₁，x₂，...，x_n)=(0，x₁，...，x_n-1)。

(i)证明：σ是Fⁿ的一个线性变换，且σⁿ=θ;

(i)求Ker(σ)和Im(σ)的维数。

设实二次型，证明：f(x₁，x₂，...，x_n)的秩等于矩阵。

的秩。

设函数f(x,y,z)在区域内连续.若对于Ω内任意有界子域w,都有

证明f(x,y,z)=0,其中.

证明:若f(x)在[a.b]上连续,,则在[x₁,x₂]上必有ξ,使

设a₁，a₂，...，a_n是n个不同的数，而F(x)=(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n)，b₁，b₂，...，b_n是任意n个数，显然适合条件L(a_i)=b_i，i=1，2，...，n。这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。

利用上面的公式求：

1)一个次数＜4的多项式f(x)，它适合条件：f(2)=3，f(3)=-1，f(4)=0，f(5)=2。

2)一个二次多项式f(x)，它在x=0，2/π，π处与函数sinx有相同的值。

3)一个次数尽可能低的多项式f(x)，使f(0)=1，f(1)=2，f(2)=5，f(3)=10。

考虑下列实数集上的函数f(x)=2x²+1,g(x)=-x+7,h(x)=2^x,k(x)=sinx那么

设f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)-f(1)=0.试证对于实数c(0＜r＜1),必存在一点使f(0)= f(x₀+c).