设图G连通，并设S是N的非空真子集，证明边割是G的割集当且仅当点导出子图G[S]和都连通。

设G为n个结点的无向简单图,若x(G)≥k,则称G是k-连通图,k为非负整数.证明以下结论:

(1)当时,正明G连通.

(2)当时,证明G是k-连通图.

设G*是连通平面图G的对偶图,和n,m,r分别为G*和G的结点数、边数和面数,则

证明集合A是无限集的充分必要条件是对于从A到A的每个映射f、有A的非空真子集B，使。

a)图7-21中的边能剖分为两条路(边不相重),试给出这样的剖分。

b)设G是一个具有k个奇数度结点(k＞0)的连通图,证明在G中的边能剖分为k/2条路(边不相重)。

c)设G是一个具有k个奇数度结点的图,问最少加几条边到G中,而使所得的图有一条欧拉回路,说明对于图7-21如何能做到这一点。

d)在c)中如果只允许加平行于G中已存在的边,问最少加几条边到G中,使所得的图中有一条欧拉回路,这事总能做到吗？叙述能做到这事的充分必要条件。

设为群,H为G的非空子集:证明:的子群当且仅当对任意元素a,bH有a*b^-1H.

设f(z)及g(z)在单连通区域D内解析，α及β是D内两点，证明:

(分部积分公式)，在这里从α到β的积分是沿D内连接α及β的一条简单曲线取的。