证明集合A是无限集的充分必要条件是对于从A到A的每个映射f、有A的非空真子集B，使。

证明的充分必要条件是:对于任意从右方收敛于x₀的数列{x_n}(x_n→x₀),成立

若集合A上的关系R,S是对称的,证明RS具有对称性的充分必要条件是RS=SR.

证明定理11.1.3：x是点集的聚点的充分必要条件是：存在S中的点列{x_k}，满足

设X是含有n个元素的集合,从X中均匀地选取元素.设第k次选取时首次出现重复.

(1)试证明当n充分大时,k的期望值为.其中,.

(2)由此设计一个计算给定集合X中元素个数的概率算法.

证明：和是直和的充分必要条件是

设。证明：

1)有相同值域的充分必要条件是

2)有相同的核的充分必要条件是

证明存在的充分必要条件是：对任意给定ε＞0，存在X＞0，当