考虑代数系统（R,*),这里R是实数,*定义如下： 试分别讨论运算*的可交换性和可结合性，R有否么元，

考虑三阶系统

这里σ、β均为实数。试确定系统平衡状态x=0渐近稳定、李氏(Lyapunov)稳定及不稳定时，σ、β应满足的条件。

对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统？

(1)S₁={0，±1，±2，...，±n}，+为普通加法，则S₁是Ⓐ。

(2)S₂={1/2，0,，2}，*为普通乘法，则S₂是Ⓑ。

(3)S₃={0，1，...，n-1}，n为任意给定的正整数且n≥2，*为模1乘法，°为模n加法，则S₃是Ⓒ。

(4)S₄={0，1，2，3}，≤为小于等于关系，则S₄是Ⓓ。

(5)S₅=M_n(R)，+为矩阵加法，则S₅是Ⓔ。

＜ R,+＞是实数集上的加法群,设x∈R,f是同态否？如果是,请写出同态象和同态核。

R为实数集，定义以下六个函数有

(1)指出哪些函数是R上的二元运算.

(2)对所有R上的二元运算说明是否为可交换。可结合，幂等的.

(3)求所有R上二元运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元.

令R是实数域，而V是定义于区间[a，b]上取正值的所有函数的集合，定义在上述运算下，V是R上的线性空间。证明：空间V同构于空间V'，其中V'是定义于区间[a，b]上的所有的实函数，其函数加法及数乘如常，并求dimV。

在实数集合R上定义二元运算*,x*y=xy-2x-2y+6.

(1)验证*满足结合律

(2)求的幺元和零元

(3)对任意非零元的x,求＜R,*＞其在中的逆元.