＜ R,+＞是实数集上的加法群,设x∈R,f是同态否？如果是,请写出同态象和同态核。

设R是有限集X上的一个二元关系，证明:

a)对于任意在X上的二元关系R,有R⁺是可传递的。

b)若有X上任何其他传递关系P,使得

c)R+就是定义3-8.1中所说的传递闭包。

令R是实数域，而V是定义于区间[a，b]上取正值的所有函数的集合，定义在上述运算下，V是R上的线性空间。证明：空间V同构于空间V'，其中V'是定义于区间[a，b]上的所有的实函数，其函数加法及数乘如常，并求dimV。

R为实数集，定义以下六个函数有

(1)指出哪些函数是R上的二元运算.

(2)对所有R上的二元运算说明是否为可交换。可结合，幂等的.

(3)求所有R上二元运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元.

在实数集合R上定义二元运算*,x*y=xy-2x-2y+6.

(1)验证*满足结合律

(2)求的幺元和零元

(3)对任意非零元的x,求＜R,*＞其在中的逆元.

R为实数集合,S=RxR,*为S上的运算,定义为对任意求*的幺元,当x≠0时,求的逆元.

A.自反性

B.增广性

C.传递性

D.复合性

如,可以用6次乘法逐步计算x²³如下:.可以证明,计算x²³最少需要6次乘法.计算x23的幂序列中各幂次1、2、3、5、10、20、23组成了一个关于整数23的加法链.一般情况下,计算xⁿ的幂序列中各幂次组成正整数n的一个加法链:

上述最优求幂问题相应于正整数n的最短加法链问题,即求n的一个加法链,使其长度r达到最小.正整数n的最短加法链长度记为l(n).

算法设计:对于给定的正整数n,计算相应于正整数n的最短加法链.

数据输入:由文件input.txt给出输入数据.第1行有1个正整数n.

结果输出:将计算的最短加法链长度l(n)和相应的最短加法链输出到文件output.txt.

整数集I上的一元运算定义如下:

(m)=m'(modk)

其中r,k为给定正整数,又定义I上的关系~:

X~y当且仅当x=y(modk)

问一是否是代数结构＜l,＞上的同余关系.