计算阶行列式

设在n阶行列式

中，a_ij=-a_ji(i，j=1，2，...，n)证明：当n是奇数时，D=0。

设A是一个nxn矩阵，都是nx1矩阵，用记号表示以β代替A的第i列后所得到的nxn矩阵。

(i)证明线性方程组Aξ=β可以改写成I是n阶单位矩阵。

(ii)当detA≠0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默法则。

令

是一个n阶矩阵。

(i)计算A²，A³，...，A^n-1;

(ii)求A的全部特征根。

令证明α₁，α₂，...，α_n线性相关当且仅当行列式

令a₁，a₂，···，a_n是任意复数，行列式

叫作一个循环行列式，证明：D=f(ω₁)f(ω₂)...f(ω_n)，这里是全部n次单位根。

设A是复数域C上一个n阶矩阵，λ₁，λ₂，···，λ_n是A的全部特征根(重根按重数计算)。

(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f(λ₁)，f(λ₂)，···，f(λ_n)是f(A)的全部特征根;

(ii)如果A可逆，那么λ_i≠0，i=1，2，...，n，并且是A^-1的全部特征根。

设α₁，α₂，···，α_n是欧氏空间的n个向量，行列式

叫作α₁，...，α_n的格拉姆(Gram)行列式，证明G(α₁，...，α_n)=0当且仅当α₁，...，α_n线性相关。

变量与变量y有如下的线性关系

已知行列式试将变量用变量线性表示。