求矩阵X，X满足:（注:4)中矩阵均为n阶方阵.)

设矩阵可对角化，求x和y应满足的条件。

设方程F(x,yz)=0确定隐函数z=z(x,y),求注:做这类题时,作为约定:总认为其中函数F满足链式规则的条件,而且混合偏导数与求导次序无关.

设三阶矩阵A的各行元素之和均为3，向量是线性方程组Ax=0的两个解。(1)求A的特征值与特征向量：(2)求正交矩阵Q，使得Q¹AQ为对角矩阵。

判别下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：

1)在线性空间V中，其中α∈V是一固定的向量;

2)在线性空间V中，其中α∈V是一固定的向量;

3)在P³中;

4)在P³中;

5)在P[x]中;

6)在P[x]中，其中x₀∈P是一固定的数;

7)把复数域看作复数域上的线性空间，

8)在P^nxn中，，其中B，C∈P^nxn是两个固定的矩阵。

令V是实数域R上一个三维向量空间，σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是

(i)求出σ的最小多项式p(x)，并把p(x)在R[x]内分解为两个最高次项系数是1的不可约多项式p₁(x)与p₂(x)的乘积;

(ii)令W_i={ξ∈V|p_i(σ)ξ=0}，i=1，2。证明，W_i是σ的不变子空间，并且V=W₁⊕W₂;

(iii)在每一子空间W_i中选取一个基，凑成V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵里只出现三个非零元素。

令V=M_n(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n²维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换α_A：V→V：对于任意X∈V=M_n(C)，α_A(X)=AX-AX。

(i)证明，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么α_A是V的幂零变换;

(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么α_D和α_N分别是线性变换α_A的若尔当分解。