设A为一个n级实对称矩阵，且|A|＜0，证明：必存在实n维向量X≠0，使X'AX＜0。

用E_ij表示i行j列的元素为1，而其余元素全为零的nxn矩阵，A=(a_ij)_nxn。证明：

1)如果AE₁₂=E₁₂A，那么当k≠1时a_k1=0，当k≠2时a_2k=0;

2)如果AE_ij=E_ijA，那么当k≠i时a_ki=0，当k≠j时a_jk=0，且a_ii=a_jj;

3)如果A与所有的n级矩阵可交换，那么A一定是数量矩阵，即A=aE。

设A是nxn矩阵，如果对任一n维向量都有AX=0，那么A=O。

设实二次型，证明：f(x₁，x₂，...，x_n)的秩等于矩阵。

的秩。