设 试作一个二次多项式p(x)满足并推导出余项估计式。

设x₀=0，x₂=1，x₁∈(0，1)，已知

要求一个插值多项式p∈P₂且满足

(1)当x₁满足什么条件时，上述插值问题是适定的;

(2)当插值问题适定时，求出p(x);

(3)试对(2)中求出的p(x)进行误差分析。

设,取结点为x=1、1.728、2.744,求f(x)的二次插值多项式p₂(x)及其余项的表达式,并计算.

设f(x)=2x,取结点为x=-1、0、1,求f(x)的二次插值多项式p₂(x)及其余项的表达式,并计算.请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因.

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：

1)在P[x]中有一次数≤n²的多项式f(x)，使

2)如果，那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;

3)可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式f(x)使

设a₁，a₂，...，a_n是n个不同的数，而F(x)=(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n)，b₁，b₂，...，b_n是任意n个数，显然适合条件L(a_i)=b_i，i=1，2，...，n。这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。

利用上面的公式求：

1)一个次数＜4的多项式f(x)，它适合条件：f(2)=3，f(3)=-1，f(4)=0，f(5)=2。

2)一个二次多项式f(x)，它在x=0，2/π，π处与函数sinx有相同的值。

3)一个次数尽可能低的多项式f(x)，使f(0)=1，f(1)=2，f(2)=5，f(3)=10。

问题描述:设p是奇素数,1≤x≤p-1,如果存在一个整数y(1≤y≤p-1),使得x=y²(modp),则称y是x的模p平方根.例如,63是55的模103平方根.试设计一个求整数x的模p平方根的拉斯维加斯算法.算法的计算时间应为logp的多项式.

算法设计:设计一个拉斯维加斯算法,对于给定的奇素数p和整数x,计算x的模p平方根.

数据输入:由文件input.txt给出输入数据.第1行有2个正整数p和x.

结果输出:将计算的x的模p平方根输出到文件output.txt.当不存在x的模p平方根时,输出0.

设f(x)在[a,b]上连续，证明：对任意给定的ε＞0，存在有理系数多项式 ，使得

多项式P(x)，使得：

对一切x∈[a,b]成立。

设P[x]中多项式的次数分别为n₁，n₂，...，n_s。证明：若，则在线性空间P[x]中线性相关。

设式中P(x)和Q(x)为x的多项式，并且P(a)=Q(a)=0，问有哪些可能的值？