根据函数极限的定义证明:函数f(x)当x→x₀时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

设函数f(x)在点a连续且有极限.证明:必有导数f"(a)且[点a的导数等于点a近旁导数的极限]同样,若函数f(x)在点a左连续[右连续]且有左极限[右极限],则必有左导数[(a)[右导数f(a)]且

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内可微分且|f(x)|≤a＜1.任取一点x₀∈(-∞,+∞),并令

证明必有极限

称ξ为方程x=f(x)的不动点.

设有函数序列f_n(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:

(1)若每一个函数f_n(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列f_n(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且

(2)若,又每一个函数f_n(x)都有连续的导数f'_n(x),且导函数列f'_n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且,即

[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]

设f,g为定义在D上的有界函数,满足f(x)≤g(x),x∈D

证明：

设函数

问当x→0时,f(x)的极限是否存在？

设f(x)在R上处处有定义，证明：

是R上的有界函数。

设f(x)是[0,+∞)上的连续函数且恒有f(x)＞0,证明是定义在[0,+∞)上的单调增加函数.

设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=证明函数列{f_n}在(a,b)内一致收敛于f.

设f是三元原始递归全函数,g定义为

(1)若h(x)=,(8(x,y))=0),则此时称h为 递归函数是否妥当？为什么？

(2)证明下列函数h是μ-递归函数: