设R、Z、N分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f₁、f₂、f₃、f₄，试确定它们的

＜ R,+＞是实数集上的加法群,设x∈R,f是同态否？如果是,请写出同态象和同态核。

设个体域为整数集,试确定两个谓词P(x,y),分别使得下列两个蕴涵式假.

算法设计:给定表示书的总页码的十进制整数n(1≤n≤109),计算书的全部页码中分别用到多少次数字0、1、2、...9.

数据输入:输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供.每个文件只有1行,给出表示书的总页码的整数n.

结果输出:将计算结果输出到文件output.txt.输出文件共10行,在第k(k=1,2,...10)行输出页码中用到数字k-1的次数.

S及其S上的运算*如下定义,问各种定义下的*运算是否满足结合律、交律,

S,*＞中是否有幺元,零元,S中哪些元素有逆元,哪些元素没有逆元.

(1)S为I(整数集),x*y=x-y

(2)S为I(整数集),x*y=x+y-xy

(3)S为Q(有理数集),x*y=x+y/2

(4)S为N(自然数集),x*y=2^xy

(5)S为N(自然数集)x*y-max(x,y)(min(x,y))

(6)S为N(自然数集),x*y=x

设f：N→N，N为自然数集，且

则

设函数f(z)当|z-z₀|＞r₀(0＜r₀＜r)时是连续的，令M(r)表示∣f(z)∣在|z-z₀|=r＞r₀上的最大值,并且假定，

试证明,

在这里k_r是圆|z-z₀|=r

问题描述:给定一个自然数n,由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下:

(1)n∈set(m);

(2)在n的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过最近添加的数的一半:

(3)按此规则进行处理,直到不能再添加自然数为止.

例如,set(6)={6,16,26,126,36,136}.半数集set(6)中有6个元素.注意,该半数集是多重集.

算法设计:对于给定的自然数n,计算半数集set(n)中的元素个数.

数据输入:输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供.每个文件只有一行,给出整数n(0＜n＜1000).

结果输出:将计算结果输出到文件output.txt.输出文件只有一行,给出半数集set(n)中的元素个数.