第2题
利用二重积分求下列立体Ω的体积:
(1)由曲面z=1-x2-y2和平面y=x、y=√3x、z=0所围区域在第一卦限中的部分;
(2)由曲面z=x2+y2与z=√(x2+y2)所围立体;
(3)在抛物面z=x2+y2以下,Oxy平面以上,且在圆柱面x2+y2=2x之内的部分的体积;
(4)由曲面2y2=x、x/4+y/2+z/4=1,z=0所围立体。
第5题
设V=<Z,+>,其中+为普通加法,x∈Z,令φ1(x)=x,φ2(x)=0,φ3(x)=x+5,φ4(x)=2x,φ5(x)=x2,φ6(x)=-x,则φ1,...,φ6中有Ⓐ个是V的自同态,其中Ⓑ个不是V的自同构,Ⓒ个只是单自同态不是满自同态,Ⓓ个是满自同态不是单自同态。零同态的同态像是Ⓔ。
第6题
利用三重积分求下列立体Ω的体积,其中Ω分别为:
(1)由抛物面z=2-x2-y2和锥面z=√(x2+y2)所围成的区域;
(2)由抛物面x2+y2=z与x2+y2=8-z所围成的区域;
(3)由球面x2+y2+z2=2x和锥面z=√(x2+y2)所围成的上半区域;
(4)由1≤x2+y2+z2≤16和z2≥x2+y2所确定的区域在第一卦限中的部分。
第7题
考虑下列实数集上的函数f(x)=2x2+1,g(x)=-x+7,h(x)=2x,k(x)=sinx那么
第8题
设在|z|<R内解析的函数f(z)有泰勒展式:
试证: (1)令M(r)=max|f(reθ)|)(0≤θ≤2π),我们有:
在这里n=0,1,2...,0<r<R
(2)由(1)证明刘维尔定理。
(3)当0≤r<R时
第10题
教材81页代码3.20中的List::selectionSort()算法,通过selectMax()在前缀子序列中定位的最大元素max,有可能恰好就是tail的前驱——自然,此时“二者”无需交换。针对这一“问题”,你可能会考虑做些“优化”,以期避免上述不必要的交换,比如将
a)以序列(1980,1981,1982,...,2011,2012;0,1,2,...,1978,1979)为例,这种情况共发生多少次?
b)试证明,在各元素等概率独立分布的情况下,这种情况发生的概率仅为1nn/n→0——也就是说,就渐进意义而言,上述“优化”得不偿失。