设（A₁，A₂，…，A_n)是集合的非空搜集，对n作归纳证明下述推广的德·摩根定律：

设R是集合A上的一个等价关系,|A₁,A₂,...,A_k|为A的子集族,且对任意x,y∈A满足

可否断定{A₁,A₂,...,A_k}为A的一个划分？若可以,请证明它确为A的划分;若不可以,请补适当条件,以使上述断言成立.

设求非零向量a₁，a₂使向量组a₁，a₂，a₃为正交向量组。

设有集合(1,2,···,n)，其无重复的一个排列(a₁,a₂,···,a_n)满足a_i≠i(i=1,2,···,n)，则称该排列为一个错列，求证集合(1,2,···,n)的错列的个数

设a₁, a₂, ... a_n-1是互不相同的数.将x的多项式

分解为不可约因式的乘积。

设数列{a_n}的通项

将数列{a_n}写成a₁，a₂，...，a_n，...的形式.

设A为三阶矩阵，a₁，a₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a₃满足

(1)证明a₁，a₂，a₃线性无关;

(2)令P=(a₁，a₂，a₃)，求P^-1AP。

设x₁-x₂=a₁，x₂-x₃=a₂，x₃-x₄=a₃，x₄-x₅=a₄，x₅-x₁=a₅，证明：这方程组有解的充分必要条件为在有解的情形，求出它的一般解。