抛物面被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

求曲面积分

其中S是由抛物面z=x²+y²介于平面z=1与z=4之间的部分,法线方向向下,f(x,z,y)为连续函数.

求平面Ax+By+Cz=0(C≠0)与椭圆柱面相交所得椭圆的面积.

利用二重积分求下列立体Ω的体积：

(1)由曲面z=1-x²-y²和平面y=x、y=√3x、z=0所围区域在第一卦限中的部分;

(2)由曲面z=x²+y²与z=√(x²+y²)所围立体;

(3)在抛物面z=x²+y²以下，Oxy平面以上，且在圆柱面x²+y²=2x之内的部分的体积;

(4)由曲面2y²=x、x/4+y/2+z/4=1，z=0所围立体。

计算下列各三重积分:

(1)其中Ω为由坐标平面x=0,y=0,z=0和平面x+y+z=1围成的四面体.

设F(x,x+y,x+y+z)=0,其中函数F(u,t,w)可微分且求

设z=z(x,y)是由方程x²+y²-z=ϕ(x+y+z)确定的隐函数,其中ϕ具有二阶导数,且ϕ'≠-1.

(1)求dz;(I)记求.

利用三重积分求下列立体Ω的体积，其中Ω分别为：

(1)由抛物面z=2-x²-y²和锥面z=√(x²+y²)所围成的区域;

(2)由抛物面x²+y²=z与x²+y²=8-z所围成的区域;

(3)由球面x²+y²+z²=2x和锥面z=√(x²+y²)所围成的上半区域;

(4)由1≤x²+y²+z²≤16和z²≥x²+y²所确定的区域在第一卦限中的部分。

设点A(1,0,0)与B(0,1,1),线段绕Oz轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由S与两平面z=0和z=1所围成立体的体积.