设R是一个环，u∈R。证明R对于以下二个运算作成一个环与原来的环R同构。

设R是有限集X上的一个二元关系，证明:

a)对于任意在X上的二元关系R,有R⁺是可传递的。

b)若有X上任何其他传递关系P,使得

c)R+就是定义3-8.1中所说的传递闭包。

证明2阶实矩阵环M₂(R)的子集作成一个与复数域C同构的域。

设是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：

(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得这里λ∈R且λ≠0，1，-1;

(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得

(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得

r的最长前缀的长度为lce(l,r).设x=sa^-1[l],z=sa^-1[r],则sa[x]=I,sa[z]=r.不失一般性,可设x＜z.试证明lce(l,r)具有如下性质.

设R是集合A上的一个等价关系,|A₁,A₂,...,A_k|为A的子集族,且对任意x,y∈A满足

可否断定{A₁,A₂,...,A_k}为A的一个划分？若可以,请证明它确为A的划分;若不可以,请补适当条件,以使上述断言成立.