设V是数域P上一个线性空间,f1,...,fk是V上k个线性函数。证明:V的任一个子空间皆为某些线性函数的零化子空间。
第3题
设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使
2)如果,那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;
3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使
第4题
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
第5题
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
第6题
是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:如果在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。
第8题
判别下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:
1)在线性空间V中,其中α∈V是一固定的向量;
2)在线性空间V中,其中α∈V是一固定的向量;
3)在P3中;
4)在P3中;
5)在P[x]中;
6)在P[x]中,其中x0∈P是一固定的数;
7)把复数域看作复数域上的线性空间,
8)在Pnxn中,,其中B,C∈Pnxn是两个固定的矩阵。
第10题
第11题
令V是实数域R上一个三维向量空间,σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是
(i)求出σ的最小多项式p(x),并把p(x)在R[x]内分解为两个最高次项系数是1的不可约多项式p1(x)与p2(x)的乘积;
(ii)令Wi={ξ∈V|pi(σ)ξ=0},i=1,2。证明,Wi是σ的不变子空间,并且V=W1⊕W2;
(iii)在每一子空间Wi中选取一个基,凑成V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵里只出现三个非零元素。