设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2,
设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而
证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2,···,αm线性无关。
设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而
证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2,···,αm线性无关。
第2题
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使
2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
第3题
第4题
设α1,α2,...,αn是n维线性空间V的一组基,A是一nxs矩阵。
证明:的维数等于A的秩。
第5题
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
第6题
设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证明:
1)V中包含ε1的-子空间只有V自身;
2)V中任一非零-子空间都包含εn;
3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。
第7题
设是P上n维线性空间V的一个线性变换。
1)证明:对V上的线性函数f,f仍是V上线性函数;
2)定义V*到自身的映射为。证明:是V*上的线性变换;
3)设ε1,ε2,...,εn是V的一组基,f1,f2,...,fn是它的对偶基,并设在ε1,ε2,...,εn下的矩阵为A,证明:在f1,f2,...,fn下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)
第9题
证明定理17.18.
定理17.18:设G*是具有h(k≥2)个连通分支的平面图G的对偶图,n*m*,r*和n,m,r分别为G*和G的顶点数,边数,面数,则
(1)n*=r,(2)m*= m;(3)r*=n-k+1;
(4)设G*的顶点vt*,位于G的面Rt中,则dG*(vt*)=dcg(Rt).
第10题
设ε1,ε2,ε3,ε4是四维线性空间V的一组基,线性变换在这组基下的矩阵为
1)求在基
下的矩阵;
2)求的特征值与特征向量;
3)求一可逆矩阵T,使T-1AT成对角形。
第11题
设三维线性空间V上的线性变换在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为:
1)求在基ε3,ε2,ε1下的矩阵;
2)求在基ε1,kε2,ε3下的矩阵,其中k∈P且k≠0;
3)求在基ε1+ε2,ε2,ε3下的矩阵。