设S是复数域上一个n阶对称矩阵，证明存在复数域上一个矩阵A，使得S=A^TA。

设A是复数域C上一个n阶矩阵，λ₁，λ₂，···，λ_n是A的全部特征根(重根按重数计算)。

(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f(λ₁)，f(λ₂)，···，f(λ_n)是f(A)的全部特征根;

(ii)如果A可逆，那么λ_i≠0，i=1，2，...，n，并且是A^-1的全部特征根。

设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义证明：f是V上一个双线性函数，f是不是对称的？

令V=M_n(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n²维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换α_A：V→V：对于任意X∈V=M_n(C)，α_A(X)=AX-AX。

(i)证明，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么α_A是V的幂零变换;

(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么α_D和α_N分别是线性变换α_A的若尔当分解。

设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵是一若尔当块。证明：

1)V中包含ε₁的-子空间只有V自身;

2)V中任一非零-子空间都包含ε_n;

3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。

令M_n(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令

证明：S和T都是M_n(F)的子空间，并且M_n(F)=S+T，S∩T={O}。

设A是一个n阶矩阵。并且存在一个正整数m使得A^m=Q。

(i)证明I-A可逆，并且(I-A)^-1=I+A+...+A^m-1。

(i)求矩阵

的逆矩阵。

设是一对称矩阵，且|A₁₁|≠0，证明：存在，使其中*表示一个级数与A₂₂相同的矩阵。