设＜ G,*＞为群,R为G.上等价关系且对任意x,y,z∈G,若（x*z)R（y*z),则zRy,设H={h|h∈G且hRe},求证＜ H,*＞为＜ G,*＞的子群。其中e是＜ G,*＞的幺元.

设R是集合A上的一个等价关系,|A₁,A₂,...,A_k|为A的子集族,且对任意x,y∈A满足

可否断定{A₁,A₂,...,A_k}为A的一个划分？若可以,请证明它确为A的划分;若不可以,请补适当条件,以使上述断言成立.

设G为群,且存在a∈G,使得证明G是交换群

A.一定满足

B.一定不满足

C.不一定满足

D.不可能满足

设干为代数结构的载体N₃上的等价关系.

(1)证明:如果~是关于+₃的同余关系,那么~必定也是关于x₃的同余关系.

(2)(1)之逆并不成立

求证:任意群可以表示为若干阿贝尔群的并,即有若干子群＜S,*＞,它们是交换群,且其载体诸S的并为G.

设Q为有理效集(既约分数的集合),F为n/m形分数集合,其中m,n是整数,m≠0.对分数集F证明:如下定义的F上的等价关系~是(这里,-为一元添负号运算)上的司余关系:

设a是群的任意一个元素,G(a)为所有与a可交换的元素组成的集合,证明的子群.