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题目内容
（请给出正确答案）
)，定义σ(X)=AX-XA。已知σ是Mn(F)的一个线性变换。设
是一个对角矩阵。证明，σ关于Mn(F)的标准基{Eij|1≤i，j≤n}的矩阵也是对角矩阵，它的主对角线的元素是一切ai-aj(1≤i，j≤n)。
答案
更多“令Mn(F)是数域F上全体n阶矩阵所成的向量空间。取定一个矩阵A∈Mn(F)。对于任意X∈Mn(F”相关的问题
第1题
令Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令
证明：S和T都是Mn(F)的子空间，并且Mn(F)=S+T，S∩T={O}。
第2题
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA：V→V：对于任意X∈V=Mn(C)，αA(X)=AX-AX。
(i)证明
，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
第3题
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义
证明：f是V上一个双线性函数，f是不是对称的？
第5题
设A是复数域C上一个n阶矩阵，λ1，λ2，···，λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f(λ1)，f(λ2)，···，f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆，那么λi≠0，i=1，2，...，n，并且
是A-1的全部特征根。
第7题
今F4表示数域F上四元列向量空间。取
对于ξ∈F4，令σ(ξ)=Aξ。求线性映射σ的核和像的维数。
第8题
检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。
(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;
(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;
(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。
第9题
设{α1，α2，···，αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
第10题
设A是全体正实数所成的集合，令
(i)g是不是A到A的双射？
(ii)g是不是f的逆映射？
(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？
在F上的极小多项式备是什么？F(i)和
是否同构？
