考查任何一棵二叉树T。a)试证明，对于其中任一节点v∈T，总有depth（v)+height（v)≤height（T)；b)以上取等号的充要条件是什么？

如图x1.4所示，考查缺失右上角(面积为4ⁿ-1)的2ⁿ×2ⁿ棋盘，n≥1。

a)试证明，使用由三个1x1正方形构成、面积为3的L形积木，可以恰好覆盖此类棋盘;

b)试给出一个算法，对于任意n≥1，给出覆盖方案;

c)该算法的时间复杂度是多少？

r的最长前缀的长度为lce(l,r).设x=sa^-1[l],z=sa^-1[r],则sa[x]=I,sa[z]=r.不失一般性,可设x＜z.试证明lce(l,r)具有如下性质.

序列的集合,A₁是A中第一个数字为1的序列的集合。然后我们根据序列中的第二个数字将A₀划分成两个子集,对A₁也用同样的方法加以划分。运用不断地将序列的集合划分成子集的方法来证明:如果A是前缀码,则存在一棵二叉树,其中从每个分枝点射出的两边分别标号0和1,使得赋于树叶的0和1的序列是A的序列。

序列中元素A[i]和A[j]若满足i＜j且A[i]＞A[j]，则称之为一个逆序对(inversion)。考查如教材80页代码3.19所示的插入排序算法List::insertionSort()，试证明：

a)若所有逆序对的间距均不超过k，则运行时间为o(kn);

b)特别地，当k为常数时，插入排序可在线性时间内完成;

c)若共有I个逆序对，则关键码比较的次数不超过o(I);

d)若共有I个逆序对，则运行时间为o(n+I)。

问题描述:给定一棵有向树T,树T中每个顶点u都有一个权w(u),树的每条边(u,v)也都有一个非负边长d(u,v).有向树T的每个顶点u可以看作客户,其服务需求量为w(u).

每条边(u,v)的边长d(u,v)可以看作运输费用.如果在顶点u处未设置服务机构,则将顶点u处的服务需求沿有向树的边(u,v)转移到顶点v处服务机构所需付出的服务转移费用为w(u).d(u,v).树根处已设置了服务机构,现在要在树T中增设k处服务机构,使得整棵树T的服务转移费用最小.

算法设计:对于给定的有向树T,计算在树T中增设k处服务机构的最小服务转移费用.数据输入:由文件input.txt给出输入数据.第1行有2个正整数n和k.n表示有向树T的边数,k是要增设的服务机构数.有向树T的顶点编号为0,1,...,n.根结点编号为0.在接下来的n行中,每行有表示有向树T的一条有向边的3个整数.第i+1行的3个整数w_i、v_i、d_i,分别表示编号为i的顶点的权为w_i,相应的有向边为(i,v_i),其边长为di.

结果输出:将计算的最小服务转移费用输出到文件output.txt.