设*为集合S上可交换、可结合的二元运算,若a,b是S上关于*运算的幂等元，证明a*b也是关于*运算的幂等元,证avb=b^c

R为实数集，定义以下六个函数有

(1)指出哪些函数是R上的二元运算.

(2)对所有R上的二元运算说明是否为可交换。可结合，幂等的.

(3)求所有R上二元运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元.

设

（1）G上的二元运算为矩阵乘法，给出G的运算表

（2）试找出G的所有子群

（3）证明G的所有子群都是正规子群

若~为中S上的等价关系,如果对S中的任何元素x,y,满足().那么,~为s上的关于一元运算△的同余关系;如果对S中的任何元素x,y,u,满足(),那么,一为S上的关于二元运算*的同余关系,当~关于一元运算、二元运算*均为同余关系时,就是上的同余关系,这时等价类[x]又可称为().

令S={a,b},S上有4个二元运算:*,o,·和□,分別由表10.8确定

(1)这4个运算中哪些远算满足交换律,结合律,幂等律

(2)求每个运算的单位元,零元及所有可递元素的逆元

设集合A上的运算*,满足结合律,对*满足分配律,试证明:对任意a₁,b₁,a₁,b₂∈A,

A.一定满足

B.一定不满足

C.不一定满足

D.不可能满足

设;S上的运算*由表0.1给定

(1) 计算(a*b)*e和a*(b*c),由计算结果可否断定运算*满足结合律？

(2)计算(b*d)*c和6*(d*c),由计算结果可否断定运算*满足结合律？

(3)运算*满足交换律吗？为什么？

记集合{0,1,2,...,k-1}(k为正整数)为N_A定义N_A上的模k加运算+_k和模k乘运算x_k:

其中表示商的整数部分考虑代数结构,向下列集合及集合上的运算是否构成以上3个代数结构的子代数.

(1){0,2}与+₆,{0,2}与x₆

(2){0,3}与+₆,{0,3}与x₆

(4){0,1}与+₆,{0,1}与x₆

(5){0,1,3,5}与+₆,{0,1,3,5}与X₆

设R是集合A上的一个等价关系,|A₁,A₂,...,A_k|为A的子集族,且对任意x,y∈A满足

可否断定{A₁,A₂,...,A_k}为A的一个划分？若可以,请证明它确为A的划分;若不可以,请补适当条件,以使上述断言成立.